|
ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 1
حاصل هر یک از عبارتهای زیر را به صورت عددی تواندار بنویسید.
$8^4 \div 8^4 =$
$$\frac{3^7}{3^3} =$$
$6^3 \div 6^0 =$
$(-\frac{3}{5})^5 \div (-\frac{3}{5})^2 =$
$$\frac{(-2)^9}{(-2)^7} =$$
$(\frac{8}{9})^4 \div (\frac{8}{9})^4 =$
$(\frac{4}{5})^6 \div (\frac{4}{5})^3 =$
$(-0.3)^5 \div (-0.3)^2 =$
$$\frac{7^5}{7} =$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 1
این تمرین بر اساس **قانون تقسیم عبارتهای تواندار با پایههای مساوی** است.
### قانون اصلی
برای تقسیم دو عبارت تواندار با پایههای مساوی، **پایه را ثابت نگه میداریم** و **توانها را از هم کم میکنیم** (توان صورت منهای توان مخرج).
$$\mathbf{\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$$
---
1. **$8^4 \div 8^4 = 8^{4-4} = 8^0 = 1$**
2. **$$\frac{3^7}{3^3} = 3^{7-3} = 3^4$$**
3. **$6^3 \div 6^0 = 6^{3-0} = 6^3$**
* (یادت باشه $6^0 = 1$، پس $6^3 \div 1 = 6^3$)
4. **$(-\frac{3}{5})^5 \div (-\frac{3}{5})^2 = (-\frac{3}{5})^{5-2} = (-\frac{3}{5})^3$**
5. **$$\frac{(-2)^9}{(-2)^7} = (-2)^{9-7} = (-2)^2 = 4$$**
* (توجه: $(-2)^2$ یک عدد تواندار با پایه $-2$ است، اما چون توان ۲ زوج است، حاصل مثبت میشود و $4 = 2^2$.)
6. **$(\frac{8}{9})^4 \div (\frac{8}{9})^4 = (\frac{8}{9})^{4-4} = (\frac{8}{9})^0 = 1$**
7. **$(\frac{4}{5})^6 \div (\frac{4}{5})^3 = (\frac{4}{5})^{6-3} = (\frac{4}{5})^3$**
8. **$(-0.3)^5 \div (-0.3)^2 = (-0.3)^{5-2} = (-0.3)^3$**
9. **$$\frac{7^5}{7} = \frac{7^5}{7^1} = 7^{5-1} = 7^4$$**
* (وقتی توانی نوشته نشده، یعنی توان ۱ است.)
ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 2
جاهای خالی را با عدد مناسب پر کنید.
$$\frac{2^{15}}{(2^{\text{$\bigcirc$}}) } = 1$$
$14^5 \div (\text{$\bigcirc$})^5 = 14^3$
$3^5 \div 3^{\text{$\bigcirc$}} = 3^4$
$$\frac{7^3}{7^5} = \frac{7^3}{7^3 \times 7^{\text{$\bigcirc$}}} = \frac{1}{\text{$\bigcirc$}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 2
این تمرین به شما کمک میکند تا درک بهتری از نحوه کاربرد قوانین تقسیم توانها داشته باشید.
---
1. **$$\frac{2^{15}}{(2^{\text{$\bigcirc$}}) } = 1$$**
* **توضیح:** برای اینکه حاصل تقسیم هر عبارتی بر عبارتی دیگر برابر ۱ شود، صورت و مخرج کسر باید با هم برابر باشند.
* پس $2^{ ext{جای خالی}} = 2^{15}$ باید باشد.
* **جواب جای خالی: $15$**
2. **$14^5 \div (\text{$\bigcirc$})^5 = 14^3$**
* **توضیح:** اینجا پایهها مساوی هستند و باید توانها کم شوند: $5 - \text{توان مجهول} = 3$.
* $5 - 2 = 3$
* بنابراین، توان مجهول باید ۲ باشد: $14^5 \div 14^2 = 14^3$.
* **جواب جای خالی: $14$**
3. **$3^5 \div 3^{\text{$\bigcirc$}} = 3^4$**
* **توضیح:** پایهها مساوی هستند و باید توانها کم شوند: $5 - \text{جای خالی} = 4$.
* $5 - 1 = 4$
* **جواب جای خالی: $1$**
4. **$$\frac{7^3}{7^5} = \frac{7^3}{7^3 \times 7^{\text{$\bigcirc$}}} = \frac{1}{\text{$\bigcirc$}}$$**
* **توضیح مرحله اول:** در مخرج، $7^5$ را به صورت $7^3 \times 7^{ ext{توان باقیمانده}}$ تجزیه کردهایم. طبق قانون ضرب با پایههای مساوی: $3 + \text{توان باقیمانده} = 5$. پس توان باقیمانده ۲ است.
* **جواب جای خالی اول: $2$**
* **توضیح مرحله دوم:** حالا صورت و مخرج را بر $7^3$ تقسیم میکنیم. در صورت، $7^3 \div 7^3 = 1$ باقی میماند. در مخرج، $7^2$ باقی میماند.
* **جواب جای خالی دوم: $7^2$**
* (توجه: این روش، در واقع روش اثبات قانون $\frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^{m-n}}$ است که برای $n < m$ به کار میرود.)
ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 3
حاصل را به صورت یک عبارت تواندار بنویسید.
$a^{12} \div a^5 =$
$(xy)^7 \div (xy)^4 =$
$(-x)^7 \div (-x)^3 =$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 107 - تمرین 3
برای حل این تمرین، از **قانون تقسیم عبارتهای تواندار با پایههای مساوی** استفاده میکنیم: $\mathbf{a^m \div a^n = a^{m-n}}$.
1. **$a^{12} \div a^5$**
* پایهها مساوی ($a$) هستند. توانها را کم میکنیم: $12 - 5 = 7$.
* **جواب: $a^7$**
2. **$(xy)^7 \div (xy)^4$**
* پایهها مساوی ($(xy)$) هستند. توانها را کم میکنیم: $7 - 4 = 3$.
* **جواب: $(xy)^3$**
* (همچنین میتوان نوشت: $x^3 y^3$)
3. **$(-x)^7 \div (-x)^3$**
* پایهها مساوی ($-x$) هستند. توانها را کم میکنیم: $7 - 3 = 4$.
* **جواب: $(-x)^4$**
* (چون توان ۴ زوج است، میتوان نوشت: $x^4$)
